フーリエ級数展開メモ(係数導出)

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ は

$\begin{aligned}f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx) \end{aligned}$ ...(＊)

とフーリエ級数展開できる。

ただし、

$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) dx$

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nxdx$

$b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nxdx$

↑ -πからπで積分してるけど、周期関数だから0から2πとか好きな1周期使っていいやつ。

(フーリエ級数導出)

1.(i) ( $m\neq 0$ のとき)

(＊)の両辺に $cosmx$ を掛けたものを区間[π,-π]で積分。

$\int^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \cos mxdx$

$=\int ^{\pi }_{-\pi }\left( \dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) \right) \cos mxdx$

$=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}\cos mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }a_{n}\cos mx\cos nxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int _{-\pi }^{\pi }b_{n}\cos mx\sin nxdx$

$=\dfrac{a_{0}}{2m}\sin mx| _{-\pi }^{\pi }+\int _{-\pi }^{\pi }a_{m}\cos mx\cos mxdx+0$ ※

$=a_{m}\pi$

※ $\int _{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=\begin{cases}0\left( m\neq n\right) \\\pi \left( m=n\right) \end{cases}$

(クロネッカーのデルタのπ倍になるやつ。関数の内積考えたり積和公式から普通に積分したり。)

$\therefore a_{m}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos mxdx$

mをnに書き換えて、

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nxdx$

(ii) ( $m＝0$ のとき)

$\int ^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) dx\\=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}dx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) dx$

$=\pi a_{0}$

∴ $a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) dx$

2. (＊)の両辺に $sinmx$ を掛けたものを区間[π,-π]で積分。

$\int^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \sin mxdx$

$=\int ^{\pi }_{-\pi }\left( \dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) \right) \sin mxdx$

$=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}\sin mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }a_{n}\cos nx\sin mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int _{-\pi }^{\pi }b_{n}\sin nx\sin mxdx$