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フーリエ級数展開メモ(係数導出)

周期2\piの周期関数f(x)

 \begin{aligned}f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx) \end{aligned} ...(*)

 とフーリエ級数展開できる。

 

ただし、

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) dx

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nxdx

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nxdx

↑ -πからπで積分してるけど、周期関数だから0から2πとか好きな1周期使っていいやつ 。

 

(フーリエ級数導出)

1.(i) (m\neq 0のとき)

(*)の両辺に cosmx を掛けたものを区間[π,-π]で積分

 

 \int^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \cos mxdx

=\int ^{\pi }_{-\pi }\left( \dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) \right) \cos mxdx

=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}\cos mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }a_{n}\cos mx\cos nxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int _{-\pi }^{\pi }b_{n}\cos mx\sin nxdx

  =\dfrac{a_{0}}{2m}\sin mx| _{-\pi }^{\pi }+\int _{-\pi }^{\pi }a_{m}\cos mx\cos mxdx+0

=a_{m}\pi

 

\int _{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=\begin{cases}0\left( m\neq n\right) \\\pi \left( m=n\right) \end{cases}

(クロネッカーのデルタのπ倍になるやつ。関数の内積考えたり積和公式から普通に積分したり。)

 

\therefore a_{m}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos mxdx

 

mをnに書き換えて、

 a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nxdx

 

  (ii) (m=0のとき)

\int ^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) dx\\=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}dx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) dx

=\pi a_{0}

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) dx

 

2. (*)の両辺に sinmx を掛けたものを区間[π,-π]で積分

 

 \int^{\pi }_{-\pi }f\left( x\right) \sin mxdx

=\int ^{\pi }_{-\pi }\left( \dfrac{a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) \right) \sin mxdx

=\int _{-\pi }^{\pi }\dfrac{a_{0}}{2}\sin mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int ^{\pi }_{-\pi }a_{n}\cos nx\sin mxdx+\sum ^{\infty }_{n=1}\int _{-\pi }^{\pi }b_{n}\sin nx\sin mxdx

  =-\dfrac{a_{0}}{2m}\cos mx| _{-\pi }^{\pi }+0+\int _{-\pi }^{\pi }b_{m}\sin mx\sin mxdx ※

=b_{m}\pi

 

\int _{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\begin{cases}0\left( m\neq n\right) \\\pi \left( m=n\right) \end{cases}

(クロネッカーのデルタのπ倍になるやつ。関数の内積考えたり積和公式から普通に積分したり。)

 

\therefore b_{m}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin mxdx

 

mをnに書き換えて、

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nxdx

 

勉強のメモで書いてみたので、内容の正確性は保証できません。

あしからず。

※数式をLaTeXで記述するのに利用したサイト↓

https://webdemo.myscript.com/views/math/index.html#